応用情報H25春　問16の解説

作成日　2013/10/27
最終更新日　2013/10/27

　応用情報H25春　問16の解説をします。

分野：テクノロジ系
大分類：コンピュータシステム
中分類：システム構成要素
小分類：システムの評価指標

1.問題
2.解説

1.問題

　3台の装置X～Zを接続したシステムA，Bの稼働率について，適切なものはどれか。ここで，3台の装置の稼働率は，いずれも0より大きく1より小さいものとする。

ア　各装置の稼働率の値によって，AとBの稼働率のどちらかが高いかは変化する。
イ　常にAとBの稼働率は等しい。
ウ　常にAの稼働率が高い。
エ　常にBの稼働率が高い。

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　まずは、AとBの稼働率を計算します。
　次に、Aの稼働率 - Bの稼働率を計算します。
　最後に結果が、ア～エのどれに当てはまるのかを考えます。

※注：このページは応用情報の解説ということで、稼働率の算出は出来るものとして、説明は省きます。分からない人は「基本情報H24秋　問15の解説」を見てください。

　まずは、AとBの稼働率を計算します。
　各装置の稼働率をp（0 < p < 1）とすると、
　　Aの稼働率は、
　　　{ 1 - ( 1 - p )² } * p
　　Bの稼働率は、
　　　1 - ( 1 - p ) * ( 1 - p² )
　となります。

　次に、Aの稼働率 - Bの稼働率を計算します。
　　Aの稼働率 - Bの稼働率
　　　　= { 1 - ( 1 - p )² } * p
　　　　　　- { 1 - ( 1 - p ) * ( 1 - p² ) }
　　　　= 2p² - p³
　　　　　　- { p + p² - p³ }
　　　　= p² - p

　最後に結果が、ア～エのどれに当てはまるのかを考えます。
　少なくとも、イではないことは明らかです。
　ア、ウ、エのどれなのかは、分かりませんね。なので、「Aの稼働率 - Bの稼働率」の結果である「p² - p」を次のように式変形（因数分解）します。
　　Aの稼働率 - Bの稼働率 = p² - p
　　　= p * ( p - 1 )
　では、考えましょう。
　「p」の範囲は0 < p < 1ですから、常に正です。
　( p - 1 )はどうでしょうか？常に負になりますね。
　ということは、正 * 負 = 負ということで、結果は常に負です。ということは常にBの稼働率の方が大きいです（補足参照）。

　よって、答えはエです。

■補足：
　ここでは、因数分解を使って、答えを求めましたが、もし、複雑な式になっていた場合は、因数分解を行うのが難しいです。
　ここでは詳しい説明はしませんが、そのような場合でも、微分を行い、極値を計算して増減表を書いて、グラフを描けば常に正になるのか、負になるのかは求めることが出来ます。

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