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作成日　2013/10/19
最終更新日　2013/10/19

基本情報H24春　問1の解説

　基本情報H24春　問1の解説をします。


分野：テクノロジ系
大分類：基礎理論
中分類：基礎理論
小分類：離散数学

1.問題
2.解説


1.問題

　次の10進小数のうち，8進数に変換したときに有限小数になるものはどれか。


ア　0.3　　　イ　0.4　　　ウ　0.5　　　エ　0.8
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2.解説

　8進小数がどのようなものか、説明します。
　10進小数は、以下の形式ですね。
　　　整数部 + k1 * 0.1 + k2 * 0.01 + k3 * 0.001 + ・・・
　　　※ここで、0≦k1≦9　、　0≦k2≦9　、0≦k3≦9　とします。
　　　ちゃんと書くと、0≦kn≦9 (nは1以上の整数)　です。

　なのですが、あえて、以下の形式で考えます。
　　　整数部 +
k1
101
 +
k2
102
 +
k3
103
+ ・・・



　さて、問題の8進小数がどのようなものかですが、8進数表記でそのまま考えると、
　　　整数部8 + k1 * 0.18 + k2 * 0.018 + k3 * 0.0018 + ・・・
　　　※ここで、0≦k1≦7　、　0≦k2≦7　、0≦k3≦7　とします。
　　　ちゃんと書くと、0≦kn≦7 (nは1以上の整数)　です。
　となります。
　10進のときと同様、分数で考えると、
　　　整数部8 +
k1
1081
 +
k2
1082
 +
k3
1083
+ ・・・

　となります。
　ここで、108は8進数表記なのですが、分母の部分を10進に置き換えてみます。すると、
　　　整数部8 +
k1
81
 +
k2
82
 +
k3
83
+ ・・・

　となります。

　問題文に「有限小数」となるものとあります。有限小数は、・・・と無限に続かないものです。
　ア〜エの10進小数の値が、8進小数で有限になるかどうかは以下の方法で確かめます。
　　（１）小数を分数に直し、約分します。
　　（２）分母を素因数分解します。
　　（３）素因数分解した結果、2以外（なぜ2が出てくるかと言うと、8=23のため）が出てきたら、それは無限小数。そうでなければ、有限小数。
　　※10進の場合は、分母を素因数分解した結果に2と5以外の素数が出てきたら無限小数です。
　　一般にN進の場合では、分母を素因数分解した結果にNを素因数分解した結果で出てくる素数のみが出てくれば有限小数で、そうでなければ、無限小数です。

　実際にやってみましょう。

◆ア：0.3
　　　=
3
10
　　　分母は10です。
　　　これを素因数分解すると、
　　　　2 * 5
　　　となり、2以外が出てくるので、8進小数では無限小数です。

◆イ：0.4
　　　=
2
5
　　　分母は5です。
　　　これを素因数分解すると、
　　　　5
　　　となり、2以外が出てくるので、8進小数では無限小数です。

◆ウ：0.5
　　　=
1
2
　　　分母は2です。
　　　これを素因数分解すると、
　　　　2
　　　となり、2以外が出てこないので、8進小数では有限小数です。

◆エ：0.8
　　　=
4
5
　　　分母は5です。
　　　これを素因数分解すると、
　　　　5
　　　となり、2以外が出てくるので、8進小数では無限小数です。


　よって答えはウです。
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